Hi,
ich versuchs mal mit linearen Funktionen und - Gleichungssystemen.
Lineare Funktionen:
f(x) = m * x + c
Dabei ist m die Steigung der Geraden und c der Y-Achsen-Abschnitt. f(x) ist gleichbedeutend mit y, also könntest Du auch
y = m * x + c
schreiben. Somit erhälst Du deine y-Werte, indem Du für x Deine Werte einsetzt.
Zum Beispiel:
f(1) = m * 1 + c
f(5) = m * 5 + c
Anwendungsbeispiel:
Du sparst Geld. Du bekommst jeden Tag 2 € und hast von Deiner Oma zu Weihnachten 50 € bekommen. Wie viel Geld hast Du nach einer Woche? Wie viel nach einem Jahr?
Jetz wählst Du die Variablen wie folgt:- f(x) bzw. y ist Dein Geld, das Du hast in abhängigkeit von der Zeit
- x ist Deine Zeit in Tagen
- m ist das Geld, das Du am tag bekommst
- c sind die 50 €, die Du schon hast
Also ist Deine Funktion wie folgt:
f(x) = 2 * x + 50
Das heißt, dass Du nach einem Tag 52 € hast: f(1) = 2 * 1 + 50
Nach einer Woche: f(7) = 2 * 7 + 50 = 64
Nach einem Jahr: f(365) = 2 * 365 + 50 = 780
Lineare Gleichungssysteme:
Damit es nicht zu theoretisch wird, gleich ein Beispiel:
Dein Bruder spart auch Geld. Er bekommt am Tag 3 €. Er hat aber von der Oma nur 20 € zu Weihnachten bekommen. Seine Geld-Funktion nennen wir h(x).
Somit ist h(x) gegeben durch:
h(x) = 3 * x + 20
Jetzt willst Du wissen, wann ihr gleichviel Geld habt. Daraus folgt die Bedingung
f(x) = h(x)
also
2 * x + 50 = 3 * x + 20
Jetzt musst Du nur noch nach x auflösen und Du weißt dann, nach wie vielen Tagen ihr gleichviel Geld habt:
2 * x + 50 = 3 * x + 20 | -50
2 * x = 3 * x - 30 | - 3 * x
- 1 * x = - 30 | : (-1)
x = 30
Also hat Dein Bruder genau so viel Geld wie Du nach 30 Tagen.
Jetzt nehmen wir an, Deine Schwester spart auch Geld. Sie bekommt aber nur 0,5 € am Tag und hat von Oma nur 5 € bekommen. Jetzt möchtest Du wissen, wann sie gleichviel Geld wie Du hast. Ihre Geldfunktion nennen wir g(x):
g(x) = 0,5 * x + 5 = 1 / 2 * x + 5
Also folgt die Bedingung:
f(x) = g(x)
2 * x + 50 = 1 / 2 * x + 5
Nun noch nach x auflösen:
2 * x + 50 = 1 / 2 * x + 5 | -50
2 * x = 1 / 2 * x - 45 | - 1 / 2 * x
3 / 2 * x= - 45 | : 3 / 2
x = - 30
Da nun x negativ ist, heißt das, dass ihr vor 30 Tagen genau gleich viel Geld gehabt hättet. Das ist aber quatsch, da vor 30 Tagen die Gleichung noch gar nicht galt. Also hast Du und Deine Schwester (wenn ihr niemals Geld ausgebt und mehr Geld verdienen würdet) niemals gleich viel Geld haben.
Aufgabe:
Du fährst zur Zeit x = 0 Stunden in Basel mit dem ICE Richtung Hamburg los. Ein Freund von Dir fährt zur Zeit x = 1,5 Stunden in Hannover mit dem ICE in Richtung Basel los. Bei welchem Kilometer (von Basel aus gesehen) werdet ihr Euch treffen, wenn die ICEs mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h fahren und der Entfernung Basel - Hamburg 800 km beträgt und die Entfernung Hannover - Hamburg 150 km?
Lösung:
Dem ICE, in dem Du sitzt, geben wir die Funktion b(x) mit
b(x) = 100 * x + 0
die Dir Deinen gefahrenen Weg berechnet. Deinem Freund geben wir die Funktion h(x) mit
h(x) = - 100 * ( x - 1,5 ) + ( 800 - 150 )
h(x) = - 100 * x + 100 * 1,5 + 800 - 150 = - 100 * x + 800
die Ebenfalls die gefahrenen Kilometer berechnet, aber die von Deinem Freund.
Wieso sieht h(x) so aus? Deshalb:- Das Minus vor der 100, weil Dein Freund Dir entgegenfährt.
- Die ( x - 90 ), weil er 90 Minuten NACH Dir losfährt. Also ist h(1,5) = ( 800 - 150 ), also genau in Hannover und wird kleiner, je größer x wird.
- ( 800 - 150 ) weil er ja in Hannover losfährt.
Jetzt setzt Du h(x) und b(x) gelich. Damit kommst Du auf die Zeit, wann Ihr Euch trefft:
b(x) = h(x)
100 * x = - 100 * x + 800 | + 100 * x
200 * x = 800 | : 200
x = 4
Also trefft Ihr Euch nach 4 Stunden. Da Du aber Deine gefahrenen Kilometer wissen willst, musst Du jetzt noch die 4 Stunden in Deine Funktion b(x) einsetzten:
b(4) = 100 * 4 = 400
Also trefft Ihr Euch bei Kilometer 400.